DIS0B

1. 命题练习

将下列英文句子转换为命题逻辑，并将下列命题转换为英文。简要说明每个陈述是否为真。

1. 1. 存在一个实数不是有理数。
2. 2. 所有整数要么是自然数要么是负数，但不能两者皆是。
3. 3. 如果一个自然数能被 6 整除，那么它能被 2 整除或者能被 3 整除。
4. 4. (\(\forall x \in \Z\))(\(x \in Q\))
5. 5. (\(\forall x \in \Z\))((\(2|x\))\(\or\)(\(3|x\)))\(\Rightarrow\)(\(6|x\)))
6. (f)(\(\forall x \in \N\))((\(x>7\))\(\Rightarrow\)((\(\exist a,b \in \N\))(\(a+b=x\))))

解决方案：

1. 1. (\(\exist x \in \R\))(\(x \notin \Q\))，或者等价地(\(\exist x \in R\))\(\urcorner\)(\(x \in \Q\))。这是真的，我们可以用\(\pi\)作为例子来证明它。
2. 2. (\(\forall x \in \Z\))((\(x \in \N\))\(\or\)(\(x<0\)))\(\and\urcorner\)((\(x \in \N\))\(\and\)(\(x < 0\)))。这是真的，因为我们定义自然数包含所有非负整数。
3. 3. (\(\forall x \in \N\))((\(6|x\))\(\Rightarrow\)((\(2|x\))\(\or\)(\(3|x\))))。这是真的，因为任何能被 6 整除的数都可以写成\(6k=(2\cdot3)k = 2(3k)\)，这意味着它也一定能被 2 整除。
4. 4. 所有整数都是有理数。这是真的，因为任何整数\(n\)都可以写成\(n/1\)。
5. 5. 任何能被 2 或 3 整除的整数也能被 6 整除。这是假的 - 2 就是最简单的反例。请注意，即使它的逆命题(部分 c)是真的，这个陈述也是假的。
6. 6. 如果一个自然数大于 7，它可以写成另外两个自然数的和。这显然是真的，因为我们可以取\(a = x\)且\(b = 0\)。

2. 真值表

通过写出真值表来确定下列等价关系是否成立。明确说明每对是否等价。

1. 1. \(P\land(Q\lor P)\)是否等价于\(P\land Q\)
2. 2. \((P\lor Q)\land R\)是否等价于\((P\land R)\lor(Q\land R)\)
3. 3. \((P\land Q)\lor R\)是否等价于\((P\lor R)\land(Q\lor R)\)

解决方案：

1. 1. 不等价。

\(P\)	\(Q\)	\(P\land(Q\lor P)\)	\(P\land Q\)
真	真	真	真
真	假	真	假
假	真	假	假
假	假	假	假

2. 2. 等价。

\(P\)	\(Q\)	\(R\)	\((P\lor Q)\land R\)	\((P\land R)\lor(Q\land R)\)
真	真	真	真	真
真	真	假	假	假
真	假	真	真	真
真	假	假	假	假
假	真	真	真	真
假	假	真	假	假
假	假	假	假	假

3. 3. 等价。

\(P\)	\(Q\)	\(R\)	\((P\land Q)\lor R\)	\((P\lor R)\land(Q\lor R)\)
真	真	真	真	真
真	真	假	真	真
真	假	真	真	真
真	假	假	假	假
假	真	真	真	真
假	真	假	假	假
假	假	真	真	真
假	假	假	假	假

3. 蕴含关系

下列哪些蕴含关系无论\(P\)如何总是为真？对于每个错误断言给出一个反例(即想出一个会使蕴含关系为假的陈述\(P(x,y)\))。

1. 1. \(\forall x\forall yP(x,y)\Rightarrow \forall y\forall xP(x,y)\)。
2. 2. \(\forall x\exists yP(x,y)\Rightarrow\exists y\forall xP(x,y)\)。
3. 3. \(\exists x\forall yP(x,y)\Rightarrow\forall y\exists xP(x,y)\)。

解决方案：

1. 1. 真。因为相邻的全称量词可以交换；因为\(\forall x\)，\(\forall y\)和\(\forall y\)，\(\forall x\)都表示对于我们的论域中的所有\(x\)和\(y\)。
2. 2. 假。令\(P(x,y)\)为\(x < y\)，并且\(x\)和\(y\)的论域为整数。或者令\(P(x,y)\)为\(x = y\)并且论域为任何至少有两个元素的集合。在这两种情况下，前提为真而结论为假，因此整个蕴含语句为假。
3. 3. 真。第一个陈述表示存在一个\(x\)，比如说\(x'\)，对于每个\(y\)，\(P(x,y)\)为真。因此，对于第二个陈述可以选择\(x = x'\)，并且对于每个\(y\)那个陈述将再次为真。